Ich hab jetzt herausgefunden wie ich DBCP2 vermeiden kann. Es gibt nämlich im Tomcat eine Alternative zu DBCP:

The JDBC Connection Pool org.apache.tomcat.jdbc.pool is a replacement or an alternative to the Apache Commons DBCP connection pool.
Dazu muss man in der context.xml bei der Resource nur folgendes Attribut hinzufügen:

factory="org.apache.tomcat.jdbc.pool.DataSourceFac tory"
Seltsamerweise erhalte ich dann zwar beim Starten des Tomcat den Fehler "WARNING - unusedProperty factory". Aber trotzdem funktioniert's.

Gruß,
KM